Soit $g$ une fonction holomorphe au voisinage d’une singularité essentielle isolée $v$: nous prouvons que, si $g$ y omet une valeur complexe, alors $v$ peut être approché par une suite de points fixes répulsifs de $g$, dont les multiplicateurs divergent à $\infty$. Nous montrons aussi que, si $v$ n’est pas une valeur exceptionnelle au sens de Picard pour $g$, alors $v$ peut être approchée par une suite de points périodiques d’ordre deux de $g$, ces cycles étant répulsifs (avec multiplicateurs divergeant à $\infty$) si $v$ n’est pas une valeur complètement ramifiée.